معادله مدار

نیروی گرانش یک نیروی مرکزی است . یعنی جهت بردار نیرو همیشه به سمت مرکز مختصات است . پس نیروی گرانش مولفه ای در جهت مماسی ندارد . مولفه های شعاعی و مماسی نیرو در مختصات قطبی به ترتیب عبارتند از :

(1)

و

(2 )

صفر بودن مولفه شعاعی نیرو در میدان گرانش باعث صفر شدن شتاب در این راستا می شود . ترکیب این نتیجه با معادله قبلی نتیجه زیر را دربر دارد :

(3)

که این یعنی حاصلضرب اندازه بردار مکان در سرعت مماسی برابر یک مقدار ثابت است . یا اندازه تکانه زاویه ای در میدان نیروی مرکزی ثابت است . از اینجا به بعد پارامتر جدیدی به نام تکانه زاویه ای ویژه یا تکانه زاویه ای بر واحد جرم را تعریف می کنیم و آن را با h نشان می دهیم .پس

( 4)

که در آن : u=1/r با دو بار مشتق گیری از u و قرار دادن نتایج حاصل در معادله (1) و استفاده ازمعادله (4) معادله زیر به دست می آید :

(5)

با حل معادله دیفرانسیل بالا برای هر نیروی مرکزی می‌توان رابطه بین r و θ را به دست آورد . در اینجا می خواهیم معادله دیفرانسیل بالا را برای نیروی گرانش حل کنیم . پس :

(6)

و با قرار دادن در معادله (5) داریم :

(7)

این معادله یک نوسانگر است که حل آن به معادله زیر می انجامد :

(8)

که A و θ0 ثوابتی هستند که مقدار آنها را شرایط اولیه تعیین می کند . پس :

(9)

معادله (9) معادله یک مقطع مخروطی را نشان می دهد که خروج از مرکز آن e ،از رابطه زیر به دست می آید :

e=(h^2 *A)/(GM)

همچنین با مقایسه صورت کسر معادله 9 با معادله کلی یک مقطع مخروطی به نتیجه زیر میرسیم :

(10)

که a نیم قطر بزرگ مدار مقطع مخروطی است .

منبع

Fowles__Analytical Mechanics__Seventh Edition