معادله زمانی کپلر

تعریف

با استفاده از معادله مدار می‌توانیم مکان جسم را به صورت تابعی از آنومالی واقعی (θ) به دست آوریم . حال می خواهیم مکان جسم را به صورت تابعی از زمان محاسبه کنیم . برای این کارابتدا آنومالی خروج از مرکزی را حساب کرده و سپس با استفاده از معادله ای که در ادامه آن را اثبات می کنیم ، مدت زمان گذشته از حضیض را به دست می آوریم.

محاسبات

در اینجا می خواهیم معادله ای را به دست بیاوریم که آنومالی خروج از مرکزی را به آنومالی متوسط مربوط سازد . با محاسبه آنومالی میانگین آنگاه مجهول مسئله یعنی زمان به دست می آید.

آنومالی متوسط(میانگین) عبارتست از :

(1)

برای شروع از معادله dθ/dt=h/r^2 استفاده می کنیم که در آن h تکانه زاویه ای ویژه جسم است :

(2)

حال باید در معادله بالا dθ را به dE تبدیل کنیم و سپس از آن انتگرال بگیریم . برای این کار به صورت زیر عمل می کنیم :

(3)

همچنین با استفاده از معادله مدار بر حسب آنومالی خروج از مرکزی داریم :

(4)

و در نهایت با جایگذاری dθ از معادله بالا در معادله 2 به نتیجه زیر میرسیم :

(5)

معادله بالا را معادله زمانی کپلر می گویند .

منبع

نجوم کروی ،و.م.اسمارت،انتشارات نشر دانشگاهی