بردار: تفاوت بین نسخهها
هانيه اميري (بحث | مشارکتها) جز (جایگزینی متن - 'می توان' به 'میتوان') |
|||
(۶ نسخهٔ میانی ویرایش شده توسط ۲ کاربر نشان داده نشده) | |||
سطر ۱: | سطر ۱: | ||
[[رده:فیزیک]] | [[رده:فیزیک]] | ||
− | + | پیکانی که طول آن نشان دهنده اندازه یک [[کمیت]] است و جهت آن جهت [[کمیت]] را نشان می دهد بردار(vector) گویند. | |
+ | هر کمیتی که توصیف کامل آن نیازمند اندازه و جهت باشد،کمیتی برداری است. | ||
+ | مثال کمیت های برداری شامل [[نیرو]]، [[سرعت]] و [[شتاب]] است. بر عکس کمیتی که بتوان آن را فقط با اندازه مشخص کرد، و جهت در آن دخیل نباشد،کمیت نرده ای خوانده می شود.[[جرم]]،[[حجم]] و اندازه سرعت کمیت های نرده ای هستند. | ||
+ | کمیت برداری را میتوان با یک پیکان به خوبی نشان داد.وقتی طول پیکان طوری درجه بندی شده باشد که اندازه کمیت را نشان دهد و جهت پیکان نشان دهنده جهت کمیت باشد،پیکان را بردار می نامیم. | ||
− | |||
− | بردار | + | == تساوی بردارها == |
+ | دو بردار که بزرگی و جهت یکسان دارند مساوی می باشند . در شکل زیر تمام بردارها با بردار A مساوی هستند . | ||
+ | [[پرونده:Vector (8).png|وسط]] | ||
− | + | ضرب یک کمیت برداری در یک کمیت نرده ای ضرب یک بردار در یک کمیت نرده ای s منجر به بردار دیگر sA می شود ، که بزرگی آن s برابر بزرگی A ، یعنی s|A| یاsA است . | |
− | |||
+ | جمع و تفریق برداری جمع دو بردار از روش متواضی الاضلاع پیروی می کند به این شکل که اگر C حاصل جمع دو بردار A و B باشد ، آنگاه طبق شکل 2-1 بردار A و B را موازی خودشان انتقال می دهیم تا انتهای B به ابتدای A (یا انتهای A به ابتدای B) برخورد کند آنگاه قطر متواضی الاضلاع بردار C است به طوری که ابتدای A ابتدای C و انتهای B انتهای C است . از توضیح بالا میتوان دریافت که A+B = B+A و |C|≠ |A|+ |B| | ||
− | + | [[پرونده:Vector (9).png|وسط]] | |
− | |||
− | + | برای تفریق دو بردار A و B کافی است بردار A را با قرینه بردار B جمع کنیم . یعنی R=A-B=A+(-B) | |
− | |||
− | |||
− | |||
+ | == بردار یکه == | ||
+ | اگر بردار A را بر اندازه آن تقسیم کنیم برداری با اندازه واحد درجهت بردار A بدست می آید که آن را با u ̂_A ( اندیس A،u است )نشان می دهیم . | ||
− | |||
− | |||
− | + | == مولفه های بردار == | |
+ | درست همان طور که دو بردار عمود بر هم را میتوان در یک بردار برایند ترکیب کرد،هر بردار را میتوان به دو مولفه برداری عمود بر هم تجزیه کرد. این دو بردار مولفه های برداری هستند که جایگزین آن شده اند. فرایند تعیین مولفه های هر بردار را تجزیه آن می نامند.هر بردار رسم شده بر قطعه ای کاغذ را میتوان به یک مولفه عمودی و یک مولفه افقی تجزیه کرد. | ||
− | + | == جمع بردارها == | |
− | + | جمع کردن بردارهایی که در جهت های موازی اثر می کنند بسیار ساده است: اگر در یک جهت اثر کنند، آنها را جمع می کنیم؛ اگر در جهت های مخالف اثر کنند،آنها را از هم کم می کنیم. مجموع دو یا چند بردار را برایند آنها می نامیم. | |
− | + | بردارها به روش مثلثی که در آن انتهای هر بردار به ابتدای بردار بعد متصل شده و برداری دیگری که ابتدای آن سر بردار اول و انتهای آن انتهای بردار دوم است (بردار مجموع)نیز با هم جمع می شوند. | |
− | + | برای یافتن برایند دو برداری که درست در یک جهت یا در جهت مخالف هم اثر نمی کنند، از قاعده متوازی الاضلاع استفاده می کنیم. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | == ضرب بردار == | ||
+ | * در هم ضرب داخلی شده که حاصل یک عدد است. | ||
+ | * یا در هم ضرب خارجی شده که حاصل برداری است که بر دو بردار ابتدایی عمود است. | ||
+ | * یا در عدد ضرب شده که به استثنا صفر با حفظ راستا تغییر جهت و اندازه میدهند. | ||
− | |||
− | |||
− | + | == ضرب داخلی (نقطه ای) == | |
− | + | ضرب داخلی دو بردار یک کمیت نرده ای است . | |
− | |||
+ | [[پرونده:Vector (1).png|وسط]] | ||
+ | که θ زاویه ی بین دو بردار است زاویه ی بین دو بردار را در حالتی اندازه می گیریم که انتهای آنها کنار هم باشد (شکل زیر) . اگر دو بردار برهم عمود باشند ، آنگاه ضرب داخلی آنها صفر می شود . به این ترتیب برای بردارهای یکه دستگاه مختصات دکارتی که دو به دو بر هم عمودند و اندازه آنها برابر واحد است داریم : | ||
− | + | [[پرونده:Vector (2).png|وسط]] | |
− | |||
− | |||
+ | با استفااده از این نتیجه به راحتی میتوان نشان داد که ضرب داخلی دو بردار A و B بر حسب مؤلفه های آنها در دستگاه دکارتی می شود : | ||
− | + | [[پرونده:Vector (3).png|وسط]] | |
− | |||
+ | از شکل بالا همچنین مشخص است که برای محاسبه تصویر بردار B در راستای بردار A که آن را با BA نشان می دهیم باید بردار B را در بردار یکه u ̂_A ضرب داخلی کنیم . | ||
− | |||
+ | == ضرب خارجی == | ||
+ | ضرب خارجی دو بردار برداری عمود بر هر دو بردار تولید می کند . | ||
− | + | [[پرونده:Vector (4).png|وسط]] | |
+ | که در آن θ زاویه بین دو بردار A و B است و n ̂_AB بردار یکه عمود بر صفحه ای است که دو بردار Aو B در آن قرار دارند (شکل زیر). برای بدست آوردن بردار حاصلضرب از قانون دست راست استفاده می کنیم .به اینگونه که چهار انگشت دست راست را در راستای بردار اول قرار می دهیم و به سمت بردار دوم جمع می کنیم در اینصورت انگشت شست بردار حاصلضرب را مشخص می کند . با این تعریف برای بردارهای یکه دستگاه مختصات دکارتی داریم : | ||
+ | [[پرونده:Vector (5).png|وسط]] | ||
− | |||
− | ضرب خارجی | + | از معادله بالا استفاده می کنیم و برای ضرب خارجی دو بردار A و B میتوانیم از روش های زیر استفاده کنیم : |
+ | [[پرونده:Vector (6).png|وسط]] | ||
+ | ضرب خارجی راه حل خوبی برای بدست آوردن بردار عمود بر هر صفحه ای است . کافی است دو بردار از صفحه را داشته باشیم و سپس از ضرب خارجی آنها برداری عمود بر صفحه را بدست آوریم . | ||
− | + | [[پرونده:Vector (7).png|وسط]] | |
− | + | == منابع == | |
− | + | *کتاب فیزیک مفهومی جلد اول مکانیک/نویسنده:پل جی.هیوئیت/ترجمه منیژه رهبر | |
− | + | *فروم نجومی آوااستار [http://forum.avastarco.com/] | |
− | |||
− | |||
− |
نسخهٔ کنونی تا ۲۲ ژانویهٔ ۲۰۱۴، ساعت ۱۴:۴۰
پیکانی که طول آن نشان دهنده اندازه یک کمیت است و جهت آن جهت کمیت را نشان می دهد بردار(vector) گویند. هر کمیتی که توصیف کامل آن نیازمند اندازه و جهت باشد،کمیتی برداری است. مثال کمیت های برداری شامل نیرو، سرعت و شتاب است. بر عکس کمیتی که بتوان آن را فقط با اندازه مشخص کرد، و جهت در آن دخیل نباشد،کمیت نرده ای خوانده می شود.جرم،حجم و اندازه سرعت کمیت های نرده ای هستند. کمیت برداری را میتوان با یک پیکان به خوبی نشان داد.وقتی طول پیکان طوری درجه بندی شده باشد که اندازه کمیت را نشان دهد و جهت پیکان نشان دهنده جهت کمیت باشد،پیکان را بردار می نامیم.
محتویات
تساوی بردارها[ویرایش]
دو بردار که بزرگی و جهت یکسان دارند مساوی می باشند . در شکل زیر تمام بردارها با بردار A مساوی هستند .
ضرب یک کمیت برداری در یک کمیت نرده ای ضرب یک بردار در یک کمیت نرده ای s منجر به بردار دیگر sA می شود ، که بزرگی آن s برابر بزرگی A ، یعنی s|A| یاsA است .
جمع و تفریق برداری جمع دو بردار از روش متواضی الاضلاع پیروی می کند به این شکل که اگر C حاصل جمع دو بردار A و B باشد ، آنگاه طبق شکل 2-1 بردار A و B را موازی خودشان انتقال می دهیم تا انتهای B به ابتدای A (یا انتهای A به ابتدای B) برخورد کند آنگاه قطر متواضی الاضلاع بردار C است به طوری که ابتدای A ابتدای C و انتهای B انتهای C است . از توضیح بالا میتوان دریافت که A+B = B+A و |C|≠ |A|+ |B|
برای تفریق دو بردار A و B کافی است بردار A را با قرینه بردار B جمع کنیم . یعنی R=A-B=A+(-B)
بردار یکه[ویرایش]
اگر بردار A را بر اندازه آن تقسیم کنیم برداری با اندازه واحد درجهت بردار A بدست می آید که آن را با u ̂_A ( اندیس A،u است )نشان می دهیم .
مولفه های بردار[ویرایش]
درست همان طور که دو بردار عمود بر هم را میتوان در یک بردار برایند ترکیب کرد،هر بردار را میتوان به دو مولفه برداری عمود بر هم تجزیه کرد. این دو بردار مولفه های برداری هستند که جایگزین آن شده اند. فرایند تعیین مولفه های هر بردار را تجزیه آن می نامند.هر بردار رسم شده بر قطعه ای کاغذ را میتوان به یک مولفه عمودی و یک مولفه افقی تجزیه کرد.
جمع بردارها[ویرایش]
جمع کردن بردارهایی که در جهت های موازی اثر می کنند بسیار ساده است: اگر در یک جهت اثر کنند، آنها را جمع می کنیم؛ اگر در جهت های مخالف اثر کنند،آنها را از هم کم می کنیم. مجموع دو یا چند بردار را برایند آنها می نامیم. بردارها به روش مثلثی که در آن انتهای هر بردار به ابتدای بردار بعد متصل شده و برداری دیگری که ابتدای آن سر بردار اول و انتهای آن انتهای بردار دوم است (بردار مجموع)نیز با هم جمع می شوند. برای یافتن برایند دو برداری که درست در یک جهت یا در جهت مخالف هم اثر نمی کنند، از قاعده متوازی الاضلاع استفاده می کنیم.
ضرب بردار[ویرایش]
- در هم ضرب داخلی شده که حاصل یک عدد است.
- یا در هم ضرب خارجی شده که حاصل برداری است که بر دو بردار ابتدایی عمود است.
- یا در عدد ضرب شده که به استثنا صفر با حفظ راستا تغییر جهت و اندازه میدهند.
ضرب داخلی (نقطه ای)[ویرایش]
ضرب داخلی دو بردار یک کمیت نرده ای است .
که θ زاویه ی بین دو بردار است زاویه ی بین دو بردار را در حالتی اندازه می گیریم که انتهای آنها کنار هم باشد (شکل زیر) . اگر دو بردار برهم عمود باشند ، آنگاه ضرب داخلی آنها صفر می شود . به این ترتیب برای بردارهای یکه دستگاه مختصات دکارتی که دو به دو بر هم عمودند و اندازه آنها برابر واحد است داریم :
با استفااده از این نتیجه به راحتی میتوان نشان داد که ضرب داخلی دو بردار A و B بر حسب مؤلفه های آنها در دستگاه دکارتی می شود :
از شکل بالا همچنین مشخص است که برای محاسبه تصویر بردار B در راستای بردار A که آن را با BA نشان می دهیم باید بردار B را در بردار یکه u ̂_A ضرب داخلی کنیم .
ضرب خارجی[ویرایش]
ضرب خارجی دو بردار برداری عمود بر هر دو بردار تولید می کند .
که در آن θ زاویه بین دو بردار A و B است و n ̂_AB بردار یکه عمود بر صفحه ای است که دو بردار Aو B در آن قرار دارند (شکل زیر). برای بدست آوردن بردار حاصلضرب از قانون دست راست استفاده می کنیم .به اینگونه که چهار انگشت دست راست را در راستای بردار اول قرار می دهیم و به سمت بردار دوم جمع می کنیم در اینصورت انگشت شست بردار حاصلضرب را مشخص می کند . با این تعریف برای بردارهای یکه دستگاه مختصات دکارتی داریم :
از معادله بالا استفاده می کنیم و برای ضرب خارجی دو بردار A و B میتوانیم از روش های زیر استفاده کنیم :
ضرب خارجی راه حل خوبی برای بدست آوردن بردار عمود بر هر صفحه ای است . کافی است دو بردار از صفحه را داشته باشیم و سپس از ضرب خارجی آنها برداری عمود بر صفحه را بدست آوریم .
منابع[ویرایش]
- کتاب فیزیک مفهومی جلد اول مکانیک/نویسنده:پل جی.هیوئیت/ترجمه منیژه رهبر
- فروم نجومی آوااستار [۱]