در حال ویرایش انرژی مدار

[[رده:مکانیک سماوی]]

طبق تعریف [[تکانه زاویه ای]] ، [[سرعت]] مماسی یک جسم با [[تکانه زاویه ای]]  ویژه l برابر است با  : l / r 

در نتیجه [[انرژی]] مکانیکی را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد :

(1) [[File:S1!.png]]

که در آن V(r) تابع [[انرژی]] پتانسیل است، که برابر است با :

(2) [[File:S2!.png]]

حال [[انرژی]] پتانسیل موثر را به شکل زیر تعریف می کنیم : 

(3) [[File:S3.png]]

برای [[نیرو]]ی [[گرانش]] که به شکل F=-k/r^2 است [[انرژی]] پتانسیل موثر به شکل زیر درمی آید :

(4) [[File:S4.png]]

*[[مدار]] دایروی دارای شعاع ثابت است یعنی تغییرات r در این مدار صفر است . درنتیجه این نوع مدار وقتی به وجود می آید که [[انرژی]] مکانیکی کمینه باشد .

به شکل زیر که [[انرژی]] پتانسیل و پتانسیل موثر را برای [[نیرو]]ی [[گرانش]] نشان می دهد توجه کنید :

[[File:Figman.png]]

[[انرژی]] [[مدار]] دایروی را به عنوان مینیموم [[انرژی]] انتخاب می کنیم . 

برای محاسبه بیشترین و کمتریم فاصله جسم از مرکز [[نیرو]] کافی است [[مشتق]] r را برابر با صفر قرار دهیم ، در نتیجه پس از مرتب کردن جملات در معادلات (1) و (4) خواهیم داشت :

(5) [[File:S5!.png]]

که یک معادله درجه 2 از r است و جواب آن عبارتست از :

(6) [[File:S6.png]]

r1 و r0 به ترتیب بیشترین و کمترین فاصله جسم از مرکز [[نیرو]] هستند .
برای مداردایروی با توجه به توضیحات بالا عبارت زیر رادیکال صفر می شود و [[مدار]] فقط دارای یک شعاع خواهد بود .
برای [[مدار]] های بیضوی چون E مقداری منفی است ( [[انرژی]] مکانیکی برای مدار های بسته کوچکتر از صفر است) معادله بالا شامل دو ریشه مثبت است . که به ترتیب اوج و حضیض نامیده می شوند .

طبق تعریف بیضی مجموع فاصله هر نقطه روی آن از دو کانون برابر با قطر بزرگ بیضی است . پس با جمع کردن دو ریشه بالا داریم :

(7) [[File:S7.png]]

که مقداری ثابت است .

برای مدارهای [[هذلولی]] چون E مقداری مثبت دارد (برای مدار های باز [[انرژی]] مکانیکی بزرگتر از صفر است) پس معادله (6) فقط یک جواب قابل قبول دارد که کمترین فاصله از مرکز نیرو را نشان می دهد و نشان دهنده حضیض مدار هذلولی است .
برای محاسبه انرژی مدار هذلولی معادله (1) را برای نقطه حضیض به کار میبریم و با قرار دادن r=a(e-1) و h=(GMa(e^2-1))^(1/2) به E=k/2a می رسیم .