انرژی مدار: تفاوت بین نسخه‌ها
(صفحه‌ای جدید حاوی 'رده:مکانیک سماوی طبق تعریف تکانه زاویه ای ، سرعت مماسی یک جسم با تکانه زاویه ...' ایجاد کرد) |
هانيه اميري (بحث | مشارکتها) جز (جایگزینی متن - 'می توان' به 'می‌توان') |
||
| (۶ نسخهٔ میانی ویرایش شده توسط ۴ کاربر نشان داده نشده) | |||
| سطر ۱: | سطر ۱: | ||
[[رده:مکانیک سماوی]] | [[رده:مکانیک سماوی]] | ||
| − | طبق تعریف تکانه زاویه ای ، سرعت مماسی یک جسم با تکانه زاویه ای ویژه l برابر است با : l / r | + | طبق تعریف [[تکانه زاویه ای]] ، سرعت مماسی یک جسم با [[تکانه زاویه ای]] ویژه l برابر است با : l / r |
| − | در نتیجه انرژی مکانیکی را | + | در نتیجه [[انرژی]] مکانیکی را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد : |
(1) [[File:S1!.png]] | (1) [[File:S1!.png]] | ||
| − | که در آن V(r) تابع انرژی پتانسیل است، که برابر است با : | + | که در آن V(r) تابع [[انرژی]] پتانسیل است، که برابر است با : |
(2) [[File:S2!.png]] | (2) [[File:S2!.png]] | ||
| − | حال انرژی پتانسیل موثر را به شکل زیر تعریف می کنیم : | + | حال [[انرژی]] پتانسیل موثر را به شکل زیر تعریف می کنیم : |
(3) [[File:S3.png]] | (3) [[File:S3.png]] | ||
| − | برای | + | برای [[نیرو]]ی [[گرانش]] که به شکل F=-k/r^2 است [[انرژی]] پتانسیل موثر به شکل زیر درمی آید : |
(4) [[File:S4.png]] | (4) [[File:S4.png]] | ||
| − | *مدار دایروی دارای شعاع ثابت است یعنی تغییرات r در این مدار صفر است . درنتیجه این نوع مدار وقتی به وجود می آید که انرژی مکانیکی کمینه باشد . | + | *[[مدار]] دایروی دارای شعاع ثابت است یعنی تغییرات r در این مدار صفر است . درنتیجه این نوع مدار وقتی به وجود می آید که [[انرژی]] مکانیکی کمینه باشد . |
| − | به شکل زیر که انرژی پتانسیل و پتانسیل موثر را برای | + | به شکل زیر که [[انرژی]] پتانسیل و پتانسیل موثر را برای [[نیرو]]ی [[گرانش]] نشان می دهد توجه کنید : |
[[File:Figman.png]] | [[File:Figman.png]] | ||
| − | انرژی مدار دایروی را به عنوان مینیموم انرژی انتخاب می کنیم . | + | [[انرژی]] [[مدار]] دایروی را به عنوان مینیموم [[انرژی]] انتخاب می کنیم . |
| − | برای محاسبه بیشترین و کمتریم فاصله جسم از مرکز نیرو کافی است مشتق r را برابر با صفر قرار دهیم ، در نتیجه پس از مرتب کردن جملات در معادلات (1) و (4) خواهیم داشت : | + | برای محاسبه بیشترین و کمتریم فاصله جسم از مرکز [[نیرو]] کافی است [[مشتق]] r را برابر با صفر قرار دهیم ، در نتیجه پس از مرتب کردن جملات در معادلات (1) و (4) خواهیم داشت : |
(5) [[File:S5!.png]] | (5) [[File:S5!.png]] | ||
| سطر ۳۵: | سطر ۳۵: | ||
(6) [[File:S6.png]] | (6) [[File:S6.png]] | ||
| − | r1 و r0 به ترتیب بیشترین و کمترین فاصله جسم از مرکز نیرو هستند . | + | r1 و r0 به ترتیب بیشترین و کمترین فاصله جسم از مرکز [[نیرو]] هستند . |
| − | برای مداردایروی با توجه به توضیحات بالا عبارت زیر رادیکال صفر می شود و مدار فقط دارای یک شعاع خواهد بود . | + | برای مداردایروی با توجه به توضیحات بالا عبارت زیر رادیکال صفر می شود و [[مدار]] فقط دارای یک شعاع خواهد بود . |
| − | برای مدار های بیضوی چون E مقداری منفی است ( انرژی مکانیکی برای مدار های بسته کوچکتر از صفر است) معادله بالا شامل دو ریشه مثبت است . که به ترتیب اوج و حضیض نامیده می شوند . | + | برای [[مدار]] های بیضوی چون E مقداری منفی است ( [[انرژی]] مکانیکی برای مدار های بسته کوچکتر از صفر است) معادله بالا شامل دو ریشه مثبت است . که به ترتیب اوج و حضیض نامیده می شوند . |
طبق تعریف بیضی مجموع فاصله هر نقطه روی آن از دو کانون برابر با قطر بزرگ بیضی است . پس با جمع کردن دو ریشه بالا داریم : | طبق تعریف بیضی مجموع فاصله هر نقطه روی آن از دو کانون برابر با قطر بزرگ بیضی است . پس با جمع کردن دو ریشه بالا داریم : | ||
| سطر ۴۵: | سطر ۴۵: | ||
که مقداری ثابت است . | که مقداری ثابت است . | ||
| − | برای مدارهای | + | برای مدارهای [[هذلولی]] چون E مقداری مثبت دارد (برای مدار های باز [[انرژی]] مکانیکی بزرگتر از صفر است) پس معادله (6) فقط یک جواب قابل قبول دارد که کمترین فاصله از مرکز نیرو را نشان می دهد و نشان دهنده حضیض مدار هذلولی است . |
| − | برای محاسبه انرژی مدار | + | برای محاسبه انرژی مدار هذلولی معادله (1) را برای نقطه حضیض به کار میبریم و با قرار دادن r=a(e-1) و h=(GMa(e^2-1))^(1/2) به E=k/2a می رسیم . |
| + | |||
| + | ==منبع== | ||
| + | |||
| + | Fowles__Analytical_Mechanics__Seventh_Edition | ||
نسخهٔ کنونی تا ۲۲ ژانویهٔ ۲۰۱۴، ساعت ۱۴:۳۶
طبق تعریف تکانه زاویه ای ، سرعت مماسی یک جسم با تکانه زاویه ای ویژه l برابر است با : l / r
در نتیجه انرژی مکانیکی را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد :
(1) 
که در آن V(r) تابع انرژی پتانسیل است، که برابر است با :
(2) 
حال انرژی پتانسیل موثر را به شکل زیر تعریف می کنیم :
(3) 
برای نیروی گرانش که به شکل F=-k/r^2 است انرژی پتانسیل موثر به شکل زیر درمی آید :
(4) 
- مدار دایروی دارای شعاع ثابت است یعنی تغییرات r در این مدار صفر است . درنتیجه این نوع مدار وقتی به وجود می آید که انرژی مکانیکی کمینه باشد .
به شکل زیر که انرژی پتانسیل و پتانسیل موثر را برای نیروی گرانش نشان می دهد توجه کنید :
انرژی مدار دایروی را به عنوان مینیموم انرژی انتخاب می کنیم .
برای محاسبه بیشترین و کمتریم فاصله جسم از مرکز نیرو کافی است مشتق r را برابر با صفر قرار دهیم ، در نتیجه پس از مرتب کردن جملات در معادلات (1) و (4) خواهیم داشت :
(5) 
که یک معادله درجه 2 از r است و جواب آن عبارتست از :
(6) 
r1 و r0 به ترتیب بیشترین و کمترین فاصله جسم از مرکز نیرو هستند . برای مداردایروی با توجه به توضیحات بالا عبارت زیر رادیکال صفر می شود و مدار فقط دارای یک شعاع خواهد بود . برای مدار های بیضوی چون E مقداری منفی است ( انرژی مکانیکی برای مدار های بسته کوچکتر از صفر است) معادله بالا شامل دو ریشه مثبت است . که به ترتیب اوج و حضیض نامیده می شوند .
طبق تعریف بیضی مجموع فاصله هر نقطه روی آن از دو کانون برابر با قطر بزرگ بیضی است . پس با جمع کردن دو ریشه بالا داریم :
(7) 
که مقداری ثابت است .
برای مدارهای هذلولی چون E مقداری مثبت دارد (برای مدار های باز انرژی مکانیکی بزرگتر از صفر است) پس معادله (6) فقط یک جواب قابل قبول دارد که کمترین فاصله از مرکز نیرو را نشان می دهد و نشان دهنده حضیض مدار هذلولی است . برای محاسبه انرژی مدار هذلولی معادله (1) را برای نقطه حضیض به کار میبریم و با قرار دادن r=a(e-1) و h=(GMa(e^2-1))^(1/2) به E=k/2a می رسیم .
منبع[ویرایش]
Fowles__Analytical_Mechanics__Seventh_Edition
