انرژی مدار

از ویکی نجوم
نسخهٔ تاریخ ‏۲۲ ژانویهٔ ۲۰۱۴، ساعت ۱۴:۳۶ توسط هانيه اميري (بحث | مشارکت‌ها) (جایگزینی متن - 'می توان' به 'می‌توان')
(تفاوت) → نسخهٔ قدیمی‌تر | نمایش نسخهٔ فعلی (تفاوت) | نسخهٔ جدیدتر ← (تفاوت)
پرش به: ناوبری، جستجو


طبق تعریف تکانه زاویه ای ، سرعت مماسی یک جسم با تکانه زاویه ای ویژه l برابر است با  : l / r

در نتیجه انرژی مکانیکی را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد :

(1) S1!.png

که در آن V(r) تابع انرژی پتانسیل است، که برابر است با :

(2) S2!.png

حال انرژی پتانسیل موثر را به شکل زیر تعریف می کنیم :

(3) S3.png

برای نیروی گرانش که به شکل F=-k/r^2 است انرژی پتانسیل موثر به شکل زیر درمی آید :

(4) S4.png

  • مدار دایروی دارای شعاع ثابت است یعنی تغییرات r در این مدار صفر است . درنتیجه این نوع مدار وقتی به وجود می آید که انرژی مکانیکی کمینه باشد .

به شکل زیر که انرژی پتانسیل و پتانسیل موثر را برای نیروی گرانش نشان می دهد توجه کنید :

پرونده:Figman.png

انرژی مدار دایروی را به عنوان مینیموم انرژی انتخاب می کنیم .

برای محاسبه بیشترین و کمتریم فاصله جسم از مرکز نیرو کافی است مشتق r را برابر با صفر قرار دهیم ، در نتیجه پس از مرتب کردن جملات در معادلات (1) و (4) خواهیم داشت :

(5) S5!.png

که یک معادله درجه 2 از r است و جواب آن عبارتست از :

(6) S6.png

r1 و r0 به ترتیب بیشترین و کمترین فاصله جسم از مرکز نیرو هستند . برای مداردایروی با توجه به توضیحات بالا عبارت زیر رادیکال صفر می شود و مدار فقط دارای یک شعاع خواهد بود . برای مدار های بیضوی چون E مقداری منفی است ( انرژی مکانیکی برای مدار های بسته کوچکتر از صفر است) معادله بالا شامل دو ریشه مثبت است . که به ترتیب اوج و حضیض نامیده می شوند .

طبق تعریف بیضی مجموع فاصله هر نقطه روی آن از دو کانون برابر با قطر بزرگ بیضی است . پس با جمع کردن دو ریشه بالا داریم :

(7) S7.png

که مقداری ثابت است .

برای مدارهای هذلولی چون E مقداری مثبت دارد (برای مدار های باز انرژی مکانیکی بزرگتر از صفر است) پس معادله (6) فقط یک جواب قابل قبول دارد که کمترین فاصله از مرکز نیرو را نشان می دهد و نشان دهنده حضیض مدار هذلولی است . برای محاسبه انرژی مدار هذلولی معادله (1) را برای نقطه حضیض به کار میبریم و با قرار دادن r=a(e-1) و h=(GMa(e^2-1))^(1/2) به E=k/2a می رسیم .

منبع[ویرایش]

Fowles__Analytical_Mechanics__Seventh_Edition