روابط اصلی در مثلث کروی: تفاوت بین نسخه‌ها

نسخهٔ ‏۱ سپتامبر ۲۰۱۲، ساعت ۲۱:۴۰

تعریف مثلث كروی:

مثلث کروی مثلثی روی سطح کره است که هریک از اضلاع آن قوسی از یك دایره عظیمه باشند. این مثلث از سه زاویه تشکیل می شود که معمولا با حروف بزرگ انگلیسی نمایش داده می شوند, مثلا می گوییم زوایای : A و B و C و دارای سه ضلع است که هرکدام کمانهایی از یك دایره عظیمه هستند که معمولا با حروف کوچک انگلیسی نمایش داده می شوند, مثلا: کمانهای a و b و c

مثلث کروی دارای خواصی متفاوت با مثلث مسطح است. از جمله:

• مجموع سه زاوی یک مثلث کروی ممکن است از 180 درجه بیشتر باشد ولی از 270 درجه کمتر است.
• اگر مجموع دو ضلع یک مثلث کروی برابر 180 درجه باشد, مجموع زوایای روبروی آنها نیز برابر 180 درجه خواهد بود.
• در هر مثلث کروی اگر از مجموع شش ضلع و زاویه, سه عنصر معلوم باشد, می توانیم بقیه عناصر را نیز محاسبه كنیم.روابط زیر ازجمله روابط مهم در مثلث كروی است:

رابطه کسینوس:

در هر مثلث کروی، کسینوس هر کدام از اضلاع، برابر است با ضرب کسینوس دو ضلع دیگر بعلاوه ی ضرب سینوس همان اضلاع در کسینوس زاویه ی مقابل:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B

cos c = cos b cos a + sin b sin a cos C

فرمول های محاسبه نصف مجموع و یا تفاضل دو زاویه:

tan (A+B)/2 = (cos (a-b)/2 cot C/2 )/ cos (a+b)/2

tan (A-B)/2 = (sin (a-b)/2 cot C/2 )/ sin (a+b)/2

روابط سینوس ها:

sin A / sin a = sin B/ sin b = sin C / sin c

منبع

نجوم كروی نوشته و.م. اسمارت . ترجمه داوود محمدزاده جسور